树（Tree）

关于“树”

在计算机科学中，树（tree）是一种抽象数据类型（ADT）。它是由 n（n>0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。

树具有以下的特点：

• 每个节点都只有有限个子节点或无子节点；
• 没有父节点的节点称为根节点；
• 每一个非根节点有且只有一个父节点；
• 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；
• 树里面没有环路（cycle）

术语：

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
• 树的度：一棵树中，最大的节点度称为树的度；
• 叶节点（终端节点）：度为零的节点；
• 分支节点（非终端节点）：度不为零的节点；
• 父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
• 子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
• 其堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子节点为第 2 层，以此类推；
• 深度：从根到节点的唯一路径长。（根的深度为 0）
• 高度：从节点到其树叶的最长路径长。（所有树叶的高度为 0）
• 森林：由 m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的种类：

1. 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，也称为自由树；
2. 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系；
   1. 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
      1. 完全二叉树：对于一棵二叉树，假设其深度为 d（d > 1）。除了第 d 层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第 d 层所有节点从左向右连续地紧密排列；
         1. 满二叉树：所有叶节点都在最底层的完全二叉树；（最后一层子节点全满的特殊的完全二叉树）
      2. 平衡二叉树（AVL 树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于 1 的二叉树；
      3. 排序二叉树（二叉查找树，Binary Search Tree）：也称“二叉搜索树”、“有序二叉树”；
   2. 霍夫曼树：带权路径最短的二叉树称为“哈夫曼树”或“最优二叉树”；
   3. B 树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多于两个子树。【？？？B 树不是二叉树吧？？？】

二叉树

在计算机科学中，二叉树（Binary tree）是每个节点最多只有两个分支（即不存在分支度大于 2 的节点）的树结构。通常分支被称作“左子树”或“右子树”。二叉树的分支具有左右次序，不能随意颠倒。

• 二叉树的第“i”层至多拥有“2^(i-1)”个节点；
• 深度为“k”的二叉树至多总共有“2^(k+1)-1”个节点；

二叉树的遍历：

1. 深度优先（DFS）
   1. 先序（根）遍历（DLR）
   2. 中序（根）遍历（LDR）
   3. 后序（根）遍历（LRD）
2. 广度优先（BFS，即：层次遍历）

排序二叉树

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排序二叉树, 又称为二叉查找树。其的特点:

• 一个节点左孩子的值, 一定小于它本身节点的值。
• 一个节点右孩子的值, 一定大于它本身节点的值。
• 左、右孩子（子树）也分别是排序二叉树。
• （没有键值相等的结点）

遍历方式的特点：【不同的遍历方式，有着不同的应用场景】

1. 先序：复制一个排序二叉树最快。【复制节点或树】
2. 中序：得到二叉树从小到大排序的数据。【获取序列】
3. 后序：执行操作时，肯定已经遍历过该节点的左右子节点，故适用于要进行破坏性操作的情况，比如删除所有节点。【文件系统常用】

排序二叉树体现了二分查找的思想，查找所需的最大次数等于二叉查找树的高度。

平衡二叉树

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平衡二叉树（Balanced BinaryTree）又被称为AVL树。它具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

• 平衡因子：节点的两个子树的高度差。（其绝对值必须小于等于 1，否则需要进行调整）

平衡的调整

平衡的调整通过对节点的旋转实现，共有四种情况：【L、R 代表“导致失衡的子节点”相对于“失衡节点”的位置，而非左旋或右旋的操作】

• （橘黄色的结点为旋转中心，黑色结点的为离插入结点最近的失衡结点）

1. LL：（左子树的左边节点）

   

   解决：右旋

2. RR：（右子树的右边节点）

   

   解决：左旋

3. LR：（左子树的右边节点）

   

   解决：先左旋再右旋

4. RL：（右子树的左边节点）

   

   解决：先右旋再左旋

红黑树

• 见：“树：红黑树”。

Treap

• 见：“树：Treap”。

多叉树

2-3 树

• 见：“树：2-3树”。

B树

• 见：“树：B树”。

B+树

• 见：“树：B+树”。

B*树

• 见：“树：B*树”。

空间数据树

R树

• 见：“树：R树”。

R*树

• 见：“树：R*树”。